где k принимает все значения от 2 до n.

Итак, предельные вероятности состояний ръ р2> ., рп в любой схеме гибели и размножения удовлетворяют уравнениям:

(1.4)

и нормировочному условию:

(1.5)

Решим эту систему следующим образом: из первого уравнения (1.4) выразим р2:

(1.6)

из второго, с учетом (1.6), получим

(1.7)

из третьего, с учетом (1.7):

и вообще

(1.8)

Эта формула справедлива для любого k от 2 до п.

Обратим внимание на ее структуру. В числителе стоит произведение всех плотностей вероятности перехода (интенсивностей) стоящих у стрелок, направленных слева направо, с начала и вплоть до той, которая идет в состояние Sk; в знаменателе — произведение всех интенсивностей , стоящих у стрелок, идущих справа налево, опять-таки, с начала и вплоть до стрелки, исходящей из состояния Sk. При k=n в числителе будет стоять произведение интенсивностей , стоящих у всех стрелок, идущих слева направо, а в знаменателе — у всех стрелок, идущих справа налево.

Итак, все вероятности выражены через одну из них: . Подставим эти выражения в нормировочное условие: . Получим:

Откуда

(1.9)

Остальные вероятности выражаются через

(1.10)

Таким образом, задача «гибели и размножения» решена в общем виде: найдены предельные вероятности состояний.

Другое по теме:

Ход работы
Работа включает несколько этапов Получение вытяжки пигментов – отцентрифугировали культуру водорослей, объемом 150 мл, при 5 тыс/об в минуту, осадок аккуратно перенесли в ступку, добавили немного песка и растворителя (смесь спирта и ацет ...

Информационные аспекты синергетики
Задачей науки является выяснение места информации в общем процессе развития Природы Общества. Н.Н.Моисеев не согласен с мнением тех ученых, которые считают информацию всеобщим свойством материального мира. Строгого и достаточно универсаль ...

Экологическая группа водных птиц
Водные птицы характеризуются плотным оперением, сильным развитием пуха, хорошо развитой копчиковой железой для смазывания оперения, плавательными перепонками на ногах. В эту экологическую группу из наших птиц входят чистиковые, чайки, тру ...