где k принимает все значения от 2 до n.

Итак, предельные вероятности состояний ръ р2> ., рп в любой схеме гибели и размножения удовлетворяют уравнениям:

(1.4)

и нормировочному условию:

(1.5)

Решим эту систему следующим образом: из первого уравнения (1.4) выразим р2:

(1.6)

из второго, с учетом (1.6), получим

(1.7)

из третьего, с учетом (1.7):

и вообще

(1.8)

Эта формула справедлива для любого k от 2 до п.

Обратим внимание на ее структуру. В числителе стоит произведение всех плотностей вероятности перехода (интенсивностей) стоящих у стрелок, направленных слева направо, с начала и вплоть до той, которая идет в состояние Sk; в знаменателе — произведение всех интенсивностей , стоящих у стрелок, идущих справа налево, опять-таки, с начала и вплоть до стрелки, исходящей из состояния Sk. При k=n в числителе будет стоять произведение интенсивностей , стоящих у всех стрелок, идущих слева направо, а в знаменателе — у всех стрелок, идущих справа налево.

Итак, все вероятности выражены через одну из них: . Подставим эти выражения в нормировочное условие: . Получим:

Откуда

(1.9)

Остальные вероятности выражаются через

(1.10)

Таким образом, задача «гибели и размножения» решена в общем виде: найдены предельные вероятности состояний.

Другое по теме:

Человек, биосфера и космические циклы
Повторяемость в ходе и развитии природных процессов выражается в ритмичности приливов и отливов, смене дня и ночи, времен года, оледенений и отступлений ледников, колебаний уровня Мирового океана, горообразований, расцвете и вымирании вид ...

Недостаток андрогенов
Гипогонадизм у мужчин - патологическое состояние, обусловленное уменьшением уровня андрогенов или снижением чувствительности к ним, которое может приводить к недоразвитию вторичных половых признаков или бесплодию. Выделяют первичный гипог ...

Общие выводы
Рассматривая понятие эволюции вне связи с теми или иными объяснениями самого процесса, мы видим, что в каждом понимании этого термина назрел более или менее глубокий кризис или что, наоборот, назрел выход из кризиса. Возникает вопрос: мож ...