где k принимает все значения от 2 до n.

Итак, предельные вероятности состояний ръ р2> ., рп в любой схеме гибели и размножения удовлетворяют уравнениям:

(1.4)

и нормировочному условию:

(1.5)

Решим эту систему следующим образом: из первого уравнения (1.4) выразим р2:

(1.6)

из второго, с учетом (1.6), получим

(1.7)

из третьего, с учетом (1.7):

и вообще

(1.8)

Эта формула справедлива для любого k от 2 до п.

Обратим внимание на ее структуру. В числителе стоит произведение всех плотностей вероятности перехода (интенсивностей) стоящих у стрелок, направленных слева направо, с начала и вплоть до той, которая идет в состояние Sk; в знаменателе — произведение всех интенсивностей , стоящих у стрелок, идущих справа налево, опять-таки, с начала и вплоть до стрелки, исходящей из состояния Sk. При k=n в числителе будет стоять произведение интенсивностей , стоящих у всех стрелок, идущих слева направо, а в знаменателе — у всех стрелок, идущих справа налево.

Итак, все вероятности выражены через одну из них: . Подставим эти выражения в нормировочное условие: . Получим:

Откуда

(1.9)

Остальные вероятности выражаются через

(1.10)

Таким образом, задача «гибели и размножения» решена в общем виде: найдены предельные вероятности состояний.

Другое по теме:

Этапы эволюции предков человека
Первой человекообразной обезьяной считается дриопитек, который лазил по деревьям и жил 20 млн. лет назад. Около 14 млн. лет назад линия дриопитека разделилась на две ветви: человекообразных обезьян и гоминидов. Однако ряд ученых, кроме эт ...

Выпишите и дайте объяснение всем терминам, встретишимся вам выполнении работы
Мейоз {греч. meiosis — уменьшение) — способ деления клеток, приводящий к уменьшению в них числа хромосом вдвое. Конъюгация - соединение. Пищеварительная система - комплекс органов, осуществляющих процесс механической и химической обра ...

В чем отличие анатомического строения однолетней и многолетней ветки одного и того же растения?
Анатомическое строение типичного стебля соответствует его главным функциям. В нем развита система проводящих тканей, часто очень сложная, которая связывает воедино все органы растения; с помощью механических тканей стебель поддерживает вс ...