где k принимает все значения от 2 до n.

Итак, предельные вероятности состояний ръ р2> ., рп в любой схеме гибели и размножения удовлетворяют уравнениям:

(1.4)

и нормировочному условию:

(1.5)

Решим эту систему следующим образом: из первого уравнения (1.4) выразим р2:

(1.6)

из второго, с учетом (1.6), получим

(1.7)

из третьего, с учетом (1.7):

и вообще

(1.8)

Эта формула справедлива для любого k от 2 до п.

Обратим внимание на ее структуру. В числителе стоит произведение всех плотностей вероятности перехода (интенсивностей) стоящих у стрелок, направленных слева направо, с начала и вплоть до той, которая идет в состояние Sk; в знаменателе — произведение всех интенсивностей , стоящих у стрелок, идущих справа налево, опять-таки, с начала и вплоть до стрелки, исходящей из состояния Sk. При k=n в числителе будет стоять произведение интенсивностей , стоящих у всех стрелок, идущих слева направо, а в знаменателе — у всех стрелок, идущих справа налево.

Итак, все вероятности выражены через одну из них: . Подставим эти выражения в нормировочное условие: . Получим:

Откуда

(1.9)

Остальные вероятности выражаются через

(1.10)

Таким образом, задача «гибели и размножения» решена в общем виде: найдены предельные вероятности состояний.

Другое по теме:

Панорама современного естествознания и его незавершенность.
Перед человечеством встали очень серьезные проблемы, порожденные самим прогрессом, решение которых невозможно только в рамках естественно-научной культуры. Решение этих проблем предполагает не только объединение усилий естественников и гу ...

Гибридизация соматических клеток
Следующий метод клеточной селекции–создание неполовых гибридов путем слияния изолированных протопластов, полученных из соматических клеток. Этот метод позволяет скрещивать филогенетически отдаленные виды растений, которые невозможно скрес ...

Класс ложноножковые или саркодовые
Характерная особенность представителей этого класса – движение с помощью временных выростов – ложноножек (псевдоподий), образование которых возможно благодаря отсутствию у саркодовых пелликулы. Форма ложноножек разнообразна. Среди ложноно ...