В рамках теоретической части будут написаны алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний. Очевидно, что если две непрерывные цепи Маркова имеют одинаковые графы состояний и различаются только значениями интенсивностей ,

Рис. 1.1

то можно сразу найти предельные вероятности состояний для каждого из графов в отдельности, достаточно составить и решить в буквенном виде уравнения для одного из них, а затем подставить вместо соответствующие значения. Для многих часто встречающихся форм графов линейные уравнения легко решаются в буквенном виде.

В данной работе будет описана схема непрерывных марковских цепей — так называемая «схема гибели и размножения».

Марковская непрерывная цепь называется «процессом гибели и размножения», если ее граф состояний имеет вид, представленный на рис. 1.1, т. е. все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S2, ., Sn-1) связано прямой и обратной связью с каждым из соседних состояний, а крайние состояния (S1, Sn) — только с одним соседним состоянием.

Для записи алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний возьмем некую задачу.

Пример. Техническое устройство состоит из трех одинаковых узлов; каждый из них может выходить из строя (отказывать); отказавший узел немедленно начинает восстанавливаться. Состояния системы нумеруем по числу неисправных узлов:

S0— все три узла исправны;

S1— один узел отказал (восстанавливается), два исправны;

S2— Два узла восстанавливаются, один исправен;

S3— все три узла восстанавливаются.

Граф состояний показан на рис. 1.2. Из графа видно, что процесс, протекающий в системе, представляет собой процесс «гибели и размножения».

Рис. 1.2

Схема гибели и размножения очень часто встречается в самых разнообразных практических задачах; поэтому имеет смысл заранее рассмотреть эту схему в общем виде и решить соответствующую систему алгебраических уравнений с тем, чтобы в дальнейшем, встречаясь с конкретными процессами, протекающими по такой схеме, не решать задачу каждый раз заново, а пользоваться уже готовым решением.

Итак, рассмотрим случайный процесс гибели и размножения с графом состояний, представленным на рис. 1.3

Рис. 1.3

Напишем алгебраические уравнения для вероятностей состояний. Для первого состояния S1 имеем:

(1.2)

Для второго состояния S2 суммы членов, соответствующих входящим и выходящим стрелкам, равны:

Но, в силу (1.2), можно сократить справа и слева равные друг другу члены и получим:

и далее, совершенно аналогично,

Одним словом, для схемы гибели и размножения члены, соответствующие стоящим друг над другом стрелкам, равны между собой:

(1.3)

Другое по теме:

Глазное яблоко
В глазном яблоке (bulbus oculi) различают передний и задний полюсы. Первый (polus anterior) расположен в центре передней выпуклости глазного яблока. Второй (polus posterior) находится в центре задней выпуклости глазного яблока, несколько ...

Органы выделения
Выделение из организма воды, углекислого газа, мочевины и других конечных продуктов распада органических соединений — непременная часть обмена веществ и направлено на поддержание постоянства внутренней среды организма. Органами выделения ...

Размножение
Самца и самку вместе можно увидеть в течение шести – семи дней в период спаривания. Готовая к спариванию самка привлекает к себе самца с помощью запахов пахучих желез, которые оставляет на стволах деревьев. Спаривание сопровождается драка ...